Définition :
Une équation différentielle à variables séparées est une équation du type $$y'f(x)=g(x)$$
Exemple :
$$\begin{align}&\qquad^2y'=e^{-y}\\ &\implies ye^y=x^{-2}\tag{1}\\ &\implies e^y=-\frac1x+\lambda,\lambda\in\Bbb R\tag{2}\end{align}$$
- Si \(-\frac1x+\lambda\gt 0,\)$$\begin{align}y(x)=\ln\left(-\frac1x+\lambda\right)\end{align}$$
- Si \(\lambda \gt 0,I_1=]\frac1\lambda,+\infty[\)
- Si \(\lambda\lt 0,I_2=]\frac1\lambda,0[\)
- Si \(\lambda=0, I_3=]-\infty,0[\)\((1)\) \(\to\) variables séparées
\((2)\) \(\to\) on intègre des deux côtés (possible car on a séparé les variables)
